MACAM-MACAM RELASI DAN SIFAT-SIFATNYA

Macam-macam Relasi

11.      Relasi Biner  Adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagianya tidak kosong.

22. Relasi ekuivalen Adalah relasi yang memenuhi (sifat relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif.

33.   Relasi tolak parsial (poset) Adalah relasi yang memenuhi ( sifat relasi yaitu reflektif, transitif dan antisimetris.

 Sifat-sifat relasi

1.     Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.

∀ a ∈ A ( a , a ) ∈ R {\displaystyle \forall _{a\in A}\quad (a,a)\in R}

∀ a ∈ A a R a {\displaystyle \forall _{a\in A}\quad aRa}

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

2.      Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

∀ a ∈ A ( a , a ) ∉ R {\displaystyle \forall _{a\in A}\quad (a,a)\notin R}

∀ a ∈ A ¬ ( a R a ) {\displaystyle \forall _{a\in A}\quad \lnot (aRa)} Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

3.     Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

∀ a , b ∈ A ( a , b ) ∈ R → ( b , a ) ∈ R {\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\rightarrow (b,a)\in R}

∀ a , b ∈ A a R b → b R a {\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad aRb\rightarrow bRa}

Sebuah relasi “ x + y {\displaystyle x+y} genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

4.     Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

∀ a , b ∈ A a ≠ b → ( ( a , b ) ∈ R → ( b , a ) ∉ R ) {\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow ((a,b)\in R\rightarrow (b,a)\notin R)}

∀ a , b ∈ A a ≠ b → ( a R b → ¬ ( b R a ) ) {\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow (aRb\rightarrow \lnot (bRa))}

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

∀ a , b ∈ A ( a , b ) ∈ R ∧ ( b , a ) ∈ R → a = b {\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\rightarrow a=b}

∀ a , b ∈ A a R b ∧ b R a → a = b {\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad aRb\wedge bRa\rightarrow a=b}

Relasi ≤ {\displaystyle \leq } bersifat anti-simetrik, karena 5 ≤ 6 {\displaystyle 5\leq 6} mengakibatkan ¬ ( 6 ≤ 5 ) {\displaystyle \lnot (6\leq 5)} . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku p ≤ q {\displaystyle p\leq q} dan q ≤ p {\displaystyle q\leq p} berarti p = q {\displaystyle p=q} .

5.     Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

( a , b ) ∈ R ∧ ( b , c ) ∈ R → ( a , c ) ∈ R {\displaystyle (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R}

∀ a , b , c ∈ A a R b ∧ b R c → a R c {\displaystyle \forall _{a,b,c\in A}{aRb\wedge bRc\rightarrow aRc}}

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Sumber:

1.      https://www.academia.edu/24581935/MACAM-MACAM_RELASI_dan_SIFAT-SIFAT_RELASI

2.      https://id.wikipedia.org/wiki/Relasi_biner